堀部和経 W.S. 数学 と その周辺
画像ギャラリー「本館」地下1階
数学 問題 蔵
Mathematics Probrems Page



0


このページの説明

面白いと思った
事・問題・公式などを
集めました

高校生に向けて書いています。



1


ヘロンの公式にいたる公式

@ブレッシュナイダー(Bretschneider)
Aグラーマグプタ(Brahmaguputa)
Bヘロン(Heron)
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説明用の GRAPES ファイル

その1

PDF FILE

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2


高校生でわかる
πが無理数であることの
簡単な証明


イワン・ニーベンによる証明(1946)を
日本の高校生にわかるように
書き直したものです


Original
I.Niven
A simple proof that π is irrational
Bull. Amer. Math.Soc.,53(1947),p. 507.
PDF File


PDF FILE



3


高校生でわかる
πが無理数であることの
簡単な証明


Li Zhou and Lubomir Markov(2010)
による証明を高校生向けに直したものです。



ニーベンの使った関数と同じ関数を使っています。

ちなみに、2003年大阪大学で出題された問題も、
基本的に、ニーベンの関数を利用しています。



Original
Recurrent Proofs of the Irrationality of Certain Trigonometric Values.
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注意:この論文の主目的は「πの無理数性」と異なります。

PDF FILE



4


ある正三角形の面積


正三角形の中の1点と
頂点までの距離が与えられたとき
正三角形の面積を求める


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説明用の GRAPES ファイル

その1

その2

その3

PDF FILE



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GRAPESその4



5


平方数でない整数の平方根は、
無理数である。


という証明を個別の整数に対して、
するのではなく、一括して証明する。



別のアイデアの証明を書きました。



PDF FILE

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別証明は、 これです。

これだと松阪和夫先生の証明より簡単!?




6


高校生でわかる

eが無理数である証明


PDF FILE



7





PDF FILE

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8


値が2になる・・・もの?

2になる値・・・いろいろ



PDF FILE

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9


正偶数角形の頂点を1:(−2)の速さで移動する

2点を結んだ直線の交点について

<デルトイドの接線の交点について>


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説明用の GRAPES ファイル


解説用
NO1
デルトイド
基本


解説用
NO2
カラー
解説用
NO3
デルトイドに
関する説明
アニメーション
GIF

壁掛け



壁掛け

2014新作

2014新作

2014新作



PDF FILE

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WEB、「GRAPES B-TOWER 25F『ドーム構造』」に関連情報有り。




10


長方形に内接する楕円と
それらに接する円について

そのような円は、4種類ある



<計算は、高校1年生で理解できる>

アイデアが面白い



PDF FILE

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11


「バラの花びら」問題

円(n-1)に外接するするように正n角形を描き、
その正n角形に外接する円(n)を描く。
次に、円(n)に外接する正(n+1)角形を描き、
その正(n+1)角形に外接する円(n+1)を描く。


この操作を、順次続けていくとき、
描かれる円(n)の半径は、しだいにどうなるか?


証明のアイデアは、
大阪教育大学付属高校池田校舎の友田先生



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GRAPES File
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PDF FILE

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12


四面体の体積


一般の四面体の体積を

その6辺で表現する公式




§2の
初等幾何的方法で
求積する方法に
ついてがポイント!

そして、四面体の存在条件についても・・・



PDF FILE

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13

展開図が三角形の四面体

三角形を折り曲げて
四面体を作る

どのような三角形が
四面体の展開図に
なりうるか・・・
その必要十分条件について


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この問題を解く、きっかけとなった話
PDF FILE    WORD FILE
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本文中のType別の 3D-GRAPES Files

PDF FILE

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14

サイクロイドなどの長さと面積を求める

【1】サイクロイドとカージオイドの
長さや面積を一度の計算で求める
【2】長さや面積を微積分を使わないで求める

@ A B C D
E F G H I

本文を説明する10個の GRAPES Files

面積の説明は、Iのファイル


+ PDF FILE+

+ 直接ワードファイルにアクセス+


+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+

+ 【新作・軽版・PDF】 +     + 直接ワードファイルにアクセス+




14.1


『簡単に計算出来る(複雑そうな)面積』





「14」 と 「14の2」 を『合体し』 1つの話にまとめたもの

14の2のファイルC,B,A,@を使用する。


 6-pages

PDF FILE     直接ワードファイルにアクセス





14.2








『マミコンの定理』
Mamikon A. Mnatsakanian



(接線掃過領域)=(接線団の面積)

を用いて解説するアニメを集めるページ











「CircleCycloid」のペーパー

PDF FILE

DOCX FILE





Dを理解するための説明です。     D ――→



Animation

Gif

File



@



A




B




C



GRAPES

File


@


A


B


C






Animation

Gif

File



D















GRAPES

File


D

















15


外サイクロイドの交点


ある条件の下で、外(内)サイクロイドを描くと

その2つのサイクロイドと円が1点で交わる


「EPI_CYCROID.gps」




PDF FILE

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16


等差×等比タイプの数列の和


等差数列{n}と数比数列{a^n}の積の形

の数列の和を素朴に求める方法





PDF FILE

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17


ユークリッドの素数定理


「素数は無限個ある」という、
あの定理の新証明




2006年に、
約2300年の時を超えて発見された新証明

Filip Saidak さん
すごい!!  (^_^)v



PDF FILE

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Filip Saidak の元論文
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18


球面多角形
そして
ハリオットの定理
オイラーの定理
デカルトの定理


名古屋大学の金井先生(幾何学)の講義・・・より

とても面白かったです!!!

別ページ


PDF FILE

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fig1     fig2



19


「逆数の和が一定」
そして、「平面分割図形」

三角形を辺で裏返して、
平面を埋め尽くす場合を
全て求める問題です。


PDF FILE

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20


あの有名な「四色定理」ではなく、

1色多い、「五色定理」を、
普通の高校生にわかるような
証明を書いたものです。


PDF FILE

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21


Gnomon(グノモン)
と、ピタゴラス数

グノモン形に石を並べて、
ピタゴラス数を作り出す。





最初にピタゴラス数の決定
の話を付け加えた版です。(2011/7)

グノモンの Gnomom.gps




ピタゴラス数
とグノモン群について(2011/7)

本文4ページと資料2ページ


PDF FILE





2011年7月に大幅に書き直したペーパーです。
「Pythagorean_number」

ワードファイルへ(.docx)



再度、大幅に書き直したもの
「Pythagorean_number」

ワードファイルへ(.docx)





22


三角形の面積のお話
---sin,cos,tanが出てこない話---

三角形ABCの面積と
内接円の半径、傍接円の半径と
三角形の周の長さの半分s
との関係・・・


s=(a+b+c)/2


PDF FILE


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23


ピックの定理のお話


小学生でも分かる
多角形の面積の定理


図形Pの面積は,何平方
センチメートルでしょうか。





PDF FILE


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24




算法助術(天保12年1841年)
に見る

ルート5の有理数近似について


ルート5=682/305
は、すごい近似です。


PDF FILE


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直接ワードファイル(.docx)にアクセス




25




虚数単位 i の i 乗?



注意)  証明には微妙な部分も・・・・・先生など:教える方は気をつけてね。


i-th_P_of_i.pdf

PDF FILE




26



正多角形の辺および対角線
の長さの平方に関する話題

単位円に内接する正多角形の
辺および対角線の長さの2乗の和について

全ての長さの平方の和
異なる長さの平方の和

単位球に内接する正多面体の
全ての頂点間の長さの平方の和



   3D-GRAPES Files

 ◎ n= 6 八面体
 ◎ n= 6 反三角柱
 ◎ n= 8 直方体
 ◎ n=10 上下屋根付直方体





Edge_Diagonal.pdf

PDF FILE

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直接ワードファイル(.docx)にアクセス





27



白から黒へ「変化」するボード


WtoBonBoardProb.pdf


「証明付きペーパー」  WtoBonBoardProof.pdf



「感染するチェッカーボード」  雑誌 KVANT(1986年 ソビエト)から




28



相似でない長方形のトランスフォーム

「このような分割が可能な条件を求めてみよう。」
丁寧な設問
長方形の縦と横の長さに条件はあるだろうか?
斜めの線の条件は何だろうか?
2つの縦の分割線(AB間、CD間)の位置に条件はあるだろうか?

「ペーパー」です。  pdf   &    docx

【解答は、作ってありません。】

他のトランスフォームの例





29


個の四面体をリング状に繋いだ「カライドサイクル」を計算しました。

(D)・2種類の赤い辺は,(垂直でない,一般の)ねじれの位置にある。・青色や赤色の辺の長さは様々である。


『任意カライドサイクル』


3D-GRAPES FILE  AnyKaleidocycle.gp3 は、ここです。

3Dグレープスファィルのパラメータの説明【PDF】 は、ここです。
計算全体の説明は,下の欄においてある,【計算のまとめ】を見てください。







カライドサイクルを作る過程や、スピンオフそして紙工作などの例





30


オイラーの多面体定理を 『A4用紙1枚(の分量)で』  証明する (高校生向き)



PDFファイルは、ここです。




直接ワードファィルへは,ここ。





31


Number of Polygon in Mathematical Beadwor



PDFファイルは、ここです。




直接ワードファィルへは,ここ。





32


互除法と連分数 そして 無理数の有理数近似 の話題





PDFファイルは、ここです。











33


「ぬかるんだ道を走る自転車」・・・ Skid Cycloid & Skid Torocoid ・・・



滑りサイクロイド や 滑りトロコイド で囲まれた部分の面積を計算しています。



PDFファイルは、ここです。
    GRAPES FILES 「SkidBycycle.gps」は、ここです。




GRAPES FILES 「SkidCycloid.gps」は、ここです。

GRAPES FILES 「SkidCardioid.gps」は、ここです。





GRAPES FILES 「SkidCyc=Toroco_Check.gps」は、ここです。





34


正n角形の対角線





GRAPES FILES 「SegOfCircle.gps」は、ここです。

頂点を順次数を増やし(1つずつ増加させて)飛ばして引く弦(線分)を引いた図形




GRAPES FILES 「SegOfCircle.gps」は、ここです。

頂点を素数個ずつ飛ばして引く弦(線分)を引いた図形








上の2つのGRAPESファィルを、1つにまとめた、【汎用性】のある

GRAPES FILES
「SegOfCircleAll.gps」は、ここです。


(注意)GRAPESのノートのテーブルを、横に開いた状態で使用すると、このファイルの構成がよく理解出来ると思います。























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999




30球で編んだ立体模型の作り方・・・PDF





90球で編んだ立体模型の作り方・・・PDF




















・・・問題蔵の蔵・・・



360degree.pdf


30BALL_5page.pdf


30Ball_RyukokuUmeda.pdf













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