堀部和経 W.S. 数学 と その周辺
画像ギャラリー「本館」地下1階
数学 問題 蔵
Mathematics Probrems Page



0


このページの説明

面白いと思った
事・問題・公式などを
集めました

高校生に向けて書いています。



1


ヘロンの公式にいたる公式

@ブレッシュナイダー(Bretschneider)
Aグラーマグプタ(Brahmaguputa)
Bヘロン(Heron)
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説明用の GRAPES ファイル

その1

PDF FILE

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2


高校生でわかる
πが無理数であることの
簡単な証明


イワン・ニーベンによる証明(1946)を
日本の高校生にわかるように
書き直したものです


Original
I.Niven
A simple proof that π is irrational
Bull. Amer. Math.Soc.,53(1947),p. 507.
PDF File


PDF FILE



3


高校生でわかる
πが無理数であることの
簡単な証明


Li Zhou and Lubomir Markov(2010)
による証明を高校生向けに直したものです。



ニーベンの使った関数と同じ関数を使っています。

ちなみに、2003年大阪大学で出題された問題も、
基本的に、ニーベンの関数を利用しています。



Original
Recurrent Proofs of the Irrationality of Certain Trigonometric Values.
PDF File


注意:この論文の主目的は「πの無理数性」と異なります。

PDF FILE



4


ある正三角形の面積


正三角形の中の1点と
頂点までの距離が与えられたとき
正三角形の面積を求める


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説明用の GRAPES ファイル

その1

その2

その3

PDF FILE



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GRAPESその4



5


平方数でない整数の平方根は、
無理数である。


という証明を個別の整数に対して、
するのではなく、一括して証明する。



別のアイデアの証明を書きました。



PDF FILE

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別証明は、 これです。

これだと松阪和夫先生の証明より簡単!?




6


高校生でわかる

eが無理数である証明


PDF FILE



7





PDF FILE

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8


値が2になる・・・もの?

2になる値・・・いろいろ



PDF FILE

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9


正偶数角形の頂点を1:(−2)の速さで移動する

2点を結んだ直線の交点について

<デルトイドの接線の交点について>


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説明用の GRAPES ファイル


解説用
NO1
デルトイド
基本


解説用
NO2
カラー
解説用
NO3
デルトイドに
関する説明
アニメーション
GIF

壁掛け



壁掛け

2014新作

2014新作

2014新作



PDF FILE

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WEB、「GRAPES B-TOWER 25F『ドーム構造』」に関連情報有り。




10


長方形に内接する楕円と
それらに接する円について

そのような円は、4種類ある



<計算は、高校1年生で理解できる>

アイデアが面白い



PDF FILE

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11


「バラの花びら」問題

円(n-1)に外接するするように正n角形を描き、
その正n角形に外接する円(n)を描く。
次に、円(n)に外接する正(n+1)角形を描き、
その正(n+1)角形に外接する円(n+1)を描く。


この操作を、順次続けていくとき、
描かれる円(n)の半径は、しだいにどうなるか?


証明のアイデアは、
大阪教育大学付属高校池田校舎の友田先生



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GRAPES File
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PDF FILE

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直接ワードファイルにアクセス
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12


四面体の体積


一般の四面体の体積を

その6辺で表現する公式




§2の
初等幾何的方法で
求積する方法に
ついてがポイント!

そして、四面体の存在条件についても・・・



PDF FILE

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13

展開図が三角形の四面体

三角形を折り曲げて
四面体を作る

どのような三角形が
四面体の展開図に
なりうるか・・・
その必要十分条件について


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この問題を解く、きっかけとなった話
PDF FILE    WORD FILE
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本文中のType別の 3D-GRAPES Files

PDF FILE

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14

サイクロイドなどの長さと面積を求める

【1】サイクロイドとカージオイドの
長さや面積を一度の計算で求める
【2】長さや面積を微積分を使わないで求める

@ A B C D
E F G H I

本文を説明する10個の GRAPES Files

面積の説明は、Iのファイル


+ PDF FILE+

+ 直接ワードファイルにアクセス+


+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+

+ 【新作・軽版・PDF】 +     + 直接ワードファイルにアクセス+




14.1


『簡単に計算出来る(複雑そうな)面積』





「14」 と 「14の2」 を『合体し』 1つの話にまとめたもの

14の2のファイルC,B,A,@を使用する。


 6-pages

PDF FILE     直接ワードファイルにアクセス





14.2








『マミコンの定理』
Mamikon A. Mnatsakanian



(接線掃過領域)=(接線団の面積)

を用いて解説するアニメを集めるページ











「CircleCycloid」のペーパー

PDF FILE

DOCX FILE





Dを理解するための説明です。     D ――→



Animation

Gif

File



@



A




B




C



GRAPES

File


@


A


B


C






Animation

Gif

File



D















GRAPES

File


D

















15


外サイクロイドの交点


ある条件の下で、外(内)サイクロイドを描くと

その2つのサイクロイドと円が1点で交わる


「EPI_CYCROID.gps」




PDF FILE

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16


等差×等比タイプの数列の和


等差数列{n}と数比数列{a^n}の積の形

の数列の和を素朴に求める方法





PDF FILE

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17


ユークリッドの素数定理


「素数は無限個ある」という、
あの定理の新証明




2006年に、
約2300年の時を超えて発見された新証明

Filip Saidak さん
すごい!!  (^_^)v



PDF FILE

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Filip Saidak の元論文
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18


球面多角形
そして
ハリオットの定理
オイラーの定理
デカルトの定理


名古屋大学の金井先生(幾何学)の講義・・・より

とても面白かったです!!!

別ページ


PDF FILE

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直接ワードファイルにアクセス

fig1     fig2



18-2







デカルトの定理


【18の中の証明とは別証明で、「デカルトの定理」だけを抜き書きした。】

 A4用紙1ページ 「デカルトの定理」 PDF FILE

「デカルトの定理」 DOCX FILE



A4用紙2ページ 「デカルトの定理 V2」 PDF FILE 

「デカルトの定理 V2」 DOCX FILE 




19


「逆数の和が一定」
そして、「平面分割図形」

三角形を辺で裏返して、
平面を埋め尽くす場合を
全て求める問題です。


PDF FILE

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直接ワードファイルにアクセス




20


あの有名な「四色定理」ではなく、

1色多い、「五色定理」を、
普通の高校生にわかるような
証明を書いたものです。


PDF FILE

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直接ワードファイルにアクセス




21


Gnomon(グノモン)
と、ピタゴラス数

グノモン形に石を並べて、
ピタゴラス数を作り出す。





最初にピタゴラス数の決定
の話を付け加えた版です。(2011/7)

グノモンの Gnomom.gps




ピタゴラス数
とグノモン群について(2011/7)

本文4ページと資料2ページ


PDF FILE





2011年7月に大幅に書き直したペーパーです。
「Pythagorean_number」

ワードファイルへ(.docx)



再度、大幅に書き直したもの
「Pythagorean_number」

ワードファイルへ(.docx)





22


三角形の面積のお話
---sin,cos,tanが出てこない話---

三角形ABCの面積と
内接円の半径、傍接円の半径と
三角形の周の長さの半分s
との関係・・・


s=(a+b+c)/2


PDF FILE


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直接ワードファイルにアクセス




23


ピックの定理のお話


小学生でも分かる
多角形の面積の定理


図形Pの面積は,何平方
センチメートルでしょうか。





PDF FILE


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直接ワードファイルにアクセス




24




算法助術(天保12年1841年)
に見る

ルート5の有理数近似について


ルート5=682/305
は、すごい近似です。


PDF FILE


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直接ワードファイル(.docx)にアクセス




25




虚数単位 i の i 乗?



注意)  証明には微妙な部分も・・・・・先生など:教える方は気をつけてね。


i-th_P_of_i.pdf

PDF FILE

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直接ワードファイル(.docx)にアクセス





26



正多角形の辺および対角線
の長さの平方に関する話題

単位円に内接する正多角形の
辺および対角線の長さの2乗の和について

全ての長さの平方の和
異なる長さの平方の和

単位球に内接する正多面体の
全ての頂点間の長さの平方の和



   3D-GRAPES Files

 ◎ n= 6 八面体
 ◎ n= 6 反三角柱
 ◎ n= 8 直方体
 ◎ n=10 上下屋根付直方体





Edge_Diagonal.pdf

PDF FILE

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直接ワードファイル(.docx)にアクセス





27



白から黒へ「変化」するボード


WtoBonBoardProb.pdf


「証明付きペーパー」  WtoBonBoardProof.pdf



「感染するチェッカーボード」  雑誌 KVANT(1986年 ソビエト)から




28



相似でない長方形のトランスフォーム

「このような分割が可能な条件を求めてみよう。」
丁寧な設問
長方形の縦と横の長さに条件はあるだろうか?
斜めの線の条件は何だろうか?
2つの縦の分割線(AB間、CD間)の位置に条件はあるだろうか?

「ペーパー」です。  pdf   &    docx

【解答は、作ってありません。】

他のトランスフォームの例





29


個の四面体をリング状に繋いだ「カライドサイクル」を計算しました。

(D)・2種類の赤い辺は,(垂直でない,一般の)ねじれの位置にある。・青色や赤色の辺の長さは様々である。


『任意カライドサイクル』


3D-GRAPES FILE  AnyKaleidocycle.gp3 は、ここです。

3Dグレープスファィルのパラメータの説明【PDF】 は、ここです。
計算全体の説明は,下の欄においてある,【計算のまとめ】を見てください。







カライドサイクルを作る過程や、スピンオフそして紙工作などの例





30


オイラーの多面体定理を 『A4用紙1枚(の分量)で』  証明する (高校生向き)



PDFファイルは、ここです。




直接ワードファィルへは,ここ。





30.1


『デカルトの定理』


多面体の立体不足角の和は、
8直角(720度)である。


「18」の「デカルトの定理」の証明とは別の証明



 1-page

PDF FILE     直接ワードファイルにアクセス





バージョン2(高校生配布資料タイプ・・・2ページ構成)

PDF FILE     直接ワードファイルにアクセス





31


Number of Polygon in Mathematical Beadwor



PDFファイルは、ここです。




直接ワードファィルへは,ここ。





32


互除法と連分数 そして 無理数の有理数近似 の話題





PDFファイルは、ここです。











33


「ぬかるんだ道を走る自転車」・・・ Skid Cycloid & Skid Torocoid ・・・



滑りサイクロイド や 滑りトロコイド で囲まれた部分の面積を計算しています。



PDFファイルは、ここです。
    GRAPES FILES 「SkidBycycle.gps」は、ここです。




GRAPES FILES 「SkidCycloid.gps」は、ここです。

GRAPES FILES 「SkidCardioid.gps」は、ここです。





GRAPES FILES 「SkidCyc=Toroco_Check.gps」は、ここです。





34


正n角形の対角線





GRAPES FILES 「SegOfCircle.gps」は、ここです。

頂点を順次数を増やし(1つずつ増加させて)飛ばして引く弦(線分)を引いた図形




GRAPES FILES 「SegOfCircle.gps」は、ここです。

頂点を素数個ずつ飛ばして引く弦(線分)を引いた図形








上の2つのGRAPESファィルを、1つにまとめた、【汎用性】のある

GRAPES FILES
「SegOfCircleAll.gps」は、ここです。


(注意)GRAPESのノートのテーブルを、横に開いた状態で使用すると、このファイルの構成がよく理解出来ると思います。






35



江川邸の算額



江川英毅の奉納した算額の問題



現在、伊豆の韮山にある、
重要文化財・江川邸
の倉庫から
平成24年に発見された
算額にある問題。






英毅(ひでたけ)(1770−1834)の
次男・江川英龍(坦庵)が、
反射炉による鉄製砲完成させた。

これが有名な韮山の反射炉である。







この算額の問題を出題形式にしたもの

ワードファィルはここ






上は、10個の円が内接している。下は、9個の円が内接している。
(算額には、問題はもう1題ある。解説は、PDFにあります。)



江川邸の算額問題(3ページ)PDF ・・・・・・ 編集できるワードファィルはここにあります。




from FUKAGAWA to HORIBE



36



3直角四面体の四平方の定理





四面体の余弦定理・・・NEW2018


参考文献『幾何学大事典 2』 [123]



3D-COS-Th.pdf・・・PDF FILE

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直接ワードファイル(.docx)にアクセス




↓ プロトタイプのペーパー ↓

FourSquareTh.pdf・・・PDF FILE    直接ワードファイル(.docx)にアクセス



37



The Circle Tangent to The Coordinate Plane






TheCircleTangentCoordinatePlane.pdf・・・PDF FILE

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直接ワードファイル(.docx)にアクセス






38



楕円が与えられたとき、
定木とコンパスを使って、
中心、軸、焦点をかけ。






Center_Ellipse.pdf・・・PDF FILE      ワードファイル・・・docx



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手書き解答付きファイル・・・PDF FILE   



39



球面上の幾何学

球面三角形の定理






SphericalTriangles.pdf・・・PDF FILE

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直接ワードファイル(.docx)にアクセス






40



「虚数・ことはじめ」カルダノとボンベリを通して






imaginary_number.pdf・・・PDF FILE

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直接ワードファイル(.docx)にアクセス






41



「根立寺の算額の問題」(新潟県長岡市上岩井)


右の問題について


正方形の内部に,図のように三角形と半径rの小円3個および,半径Rの大円が接しているとする.

このとき,比 r:R を求めよ.



問題形式プリント・・・PDF FILE   ワードファイル



解答プリント・・・PDF FILE   直接ワードファイル(.docx)にアクセス





















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999




30球で編んだ立体模型の作り方・・・PDF





90球で編んだ立体模型の作り方・・・PDF




















・・・問題蔵の蔵・・・



360degree.pdf


30BALL_5page.pdf


30Ball_RyukokuUmeda.pdf













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