堀部和経 W.S. 数学 と その周辺
画像ギャラリー「本館」地下1階
数学 問題 蔵
Mathematics Probrems Page



この頃のワードに関するメモ

ワードが自動で起動しない。かつ「危険だから開かない」と指摘されたときの為のメモ

ワードを先に起動し「開く」のプルダウンメニューの「開いて修復(E)」で、
ダウンロードの中のファイルクリックしたら「DOCX-File」を読み出せる・・・はずです。


Memo-2022/07/20






0


このページの説明

面白いと思った
事・問題・公式などを
集めました

高校生に向けて書いています。



1


ヘロンの公式にいたる公式

①ブレッシュナイダー(Bretschneider)
②グラーマグプタ(Brahmaguputa)
③ヘロン(Heron)
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説明用の GRAPES ファイル

その1

PDF FILE

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直接ワードファイルにアクセス



2


高校生でわかる
πが無理数であることの
簡単な証明


イワン・ニーベンによる証明(1946)を
日本の高校生にわかるように
書き直したものです


Original    PDF File
I.Niven   A simple proof that π is irrational Bull. Amer. Math.Soc.,53(1947),p. 509.

PDF FILE



3


高校生でわかる
πが無理数であることの
簡単な証明


Li Zhou and Lubomir Markov(2010)
による証明を高校生向けに直したものです。



ニーベンの使った関数と同じ関数を使っています。

ちなみに、2003年大阪大学で出題された問題も、
基本的に、ニーベンの関数を利用しています。



Original     PDF File
Recurrent Proofs of the Irrationality of Certain Trigonometric Values.


注意:この論文の主目的は「πの無理数性」と異なります。

PDF FILE



4


ある正三角形の面積


正三角形の中の1点と
頂点までの距離が与えられたとき
正三角形の面積を求める


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説明用の GRAPES ファイル

その1

その2

その3

PDF FILE



--------------------------------------------------------


直接ワードファイルにアクセス
GRAPESその4



5


平方数でない整数の平方根は、
無理数である。


という証明を個別の整数に対して、
するのではなく、一括して証明する。



別のアイデアの証明を書きました。



PDF FILE

--------------------------------------------------------
直接ワードファイルにアクセス



別証明は これ です。

これだと松阪和夫先生の証明より簡単!?




6


高校生でわかる

eが無理数である証明


PDF FILE



7





PDF FILE

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直接ワードファイルにアクセス



8


値が2になる・・・もの?

2になる値・・・いろいろ



PDF FILE

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直接ワードファイルにアクセス



9


正偶数角形の頂点を1:(-2)の速さで移動する

2点を結んだ直線の交点について

<デルトイドの接線の交点について>


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説明用の GRAPES ファイル


解説用
NO1
デルトイド
基本


解説用
NO2
カラー
解説用
NO3
デルトイドに
関する説明
アニメーション
GIF

壁掛け



壁掛け

2014新作

2014新作

2014新作



PDF FILE

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直接ワードファイルにアクセス
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WEB、「GRAPES B-TOWER 25F『ドーム構造』」に関連情報有り。




10


長方形に内接する楕円と
それらに接する円について

そのような円は、4種類ある



<計算は、高校1年生で理解できる>

アイデアが面白い



PDF FILE

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直接ワードファイルにアクセス




11


「バラの花びら」問題

円(n-1)に外接するするように正n角形を描き、
その正n角形に外接する円(n)を描く。
次に、円(n)に外接する正(n+1)角形を描き、
その正(n+1)角形に外接する円(n+1)を描く。


この操作を、順次続けていくとき、
描かれる円(n)の半径は、しだいにどうなるか?


証明のアイデアは、
大阪教育大学付属高校池田校舎の友田先生



-----------------------------
GRAPES File
-----------------------------


 説明文    【 PDF FILE 】   【ワードファイル】
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12


四面体の体積


一般の四面体の体積を

その6辺で表現する公式




§2の
初等幾何的方法で
求積する方法に
ついてがポイント!

そして、四面体の存在条件についても・・・



PDF FILE

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直接ワードファイルにアクセス
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13

展開図が三角形の四面体

三角形を折り曲げて
四面体を作る

どのような三角形が
四面体の展開図に
なりうるか・・・
その必要十分条件について


-----------------------------
この問題を解く、きっかけとなった話
PDF FILE    WORD FILE
-----------------------------
本文中のType別の 3D-GRAPES Files

PDF FILE

------------------------------
直接ワードファイルにアクセス



14

サイクロイドなどの長さと面積を求める

【1】サイクロイドとカージオイドの
長さや面積を一度の計算で求める
【2】長さや面積を微積分を使わないで求める


本文を説明する10個の GRAPES Files

面積の説明は、⑩のファイル


+ PDF FILE+

+ 直接ワードファイルにアクセス+


+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+

+ 【新作・軽版・PDF】 +     + 直接ワードファイルにアクセス+




14.1


『簡単に計算出来る(複雑そうな)面積』





「14」 と 「14の2」 を『合体し』 1つの話にまとめたもの

14の2のファイル④,③,②,①を使用する。


 6-pages

PDF FILE     直接ワードファイルにアクセス





14.2








『マミコンの定理』
Mamikon A. Mnatsakanian



(接線掃過領域)=(接線団の面積)

を用いて解説するアニメを集めたページ











「CircleCycloid」のペーパー

PDF FILE

DOCX FILE





⑤を理解するための説明です。     ⑤ ――→



Animation

Gif

File

















GRAPES

File


















Animation

Gif

File


















GRAPES

File




















15


外サイクロイドの交点


ある条件の下で、外(内)サイクロイドを描くと

その2つのサイクロイドと円が1点で交わる


「EPI_CYCROID.gps」




PDF FILE

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直接ワードファイルにアクセス



16


等差×等比タイプの数列の和


等差数列{n}と数比数列{a^n}の積の形

の数列の和を素朴に求める方法





PDF FILE

------------------------------
直接ワードファイルにアクセス



17


ユークリッドの素数定理


「素数は無限個ある」という、
あの定理の新証明




2006年に、
約2300年の時を超えて発見された新証明

Filip Saidak さん
すごい!!  (^_^)v



PDF FILE

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直接ワードファイルにアクセス



==============================
Filip Saidak の元論文
==============================



18


球面多角形
そして
ハリオットの定理
オイラーの定理
デカルトの定理


名古屋大学の金井先生(幾何学)の講義・・・より

とても面白かったです!!!

別ページ


PDF FILE

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直接ワードファイルにアクセス

fig1     fig2



18-2







デカルトの定理


【18の中の証明とは別証明】

「デカルトの定理」だけを抜き書きした。





【参考】

30.2 に、さらに別の説明がある。

 A4用紙1ページ 「デカルトの定理」 PDF FILE

「デカルトの定理」 DOCX FILE



A4用紙2ページ 「デカルトの定理 V2」 PDF FILE 

「デカルトの定理 V2」 DOCX FILE 




19


「逆数の和が一定」
そして、「平面分割図形」

三角形を辺で裏返して、
平面を埋め尽くす場合を
全て求める問題です。


PDF FILE

------------------------------
直接ワードファイルにアクセス




20


あの有名な「四色定理」ではなく、

1色多い、「五色定理」を、
普通の高校生にわかるような
証明を書いたものです。


PDF FILE

------------------------------
直接ワードファイルにアクセス




21


Gnomon(グノモン)
と、ピタゴラス数

グノモン形に石を並べて、
ピタゴラス数を作り出す。





最初にピタゴラス数の決定
の話を付け加えた版です。(2011/7)

グノモンの Gnomom.gps




ピタゴラス数
とグノモン群について(2011/7)

本文4ページと資料2ページ


PDF FILE





2011年7月に大幅に書き直したペーパーです。
「Pythagorean_number」

ワードファイルへ(.docx)



再度、大幅に書き直したもの
「Pythagorean_number」

ワードファイルへ(.docx)





22


三角形の面積のお話
---sin,cos,tanが出てこない話---

三角形ABCの面積と
内接円の半径、傍接円の半径と
三角形の周の長さの半分s
との関係・・・


s=(a+b+c)/2


PDF FILE


------------------------------
直接ワードファイルにアクセス




23


ピックの定理のお話


小学生でも分かる
多角形の面積の定理


図形Pの面積は,何平方
センチメートルでしょうか。





PDF FILE


------------------------------
直接ワードファイルにアクセス




24




算法助術(天保12年1841年)
に見る

ルート5の有理数近似について


ルート5=682/305
は、すごい近似です。


PDF FILE


------------------------------
直接ワードファイル(.docx)にアクセス




25




虚数単位 i の i 乗?





注意)  証明には微妙な部分も・・・・・先生など:教える方は気をつけてね。

 こっちが Ver2・・・ PDF-FILE-V2 ・・・ docx


i-th_P_of_i.pdf
PDF FILE
------------------------------
直接ワードファイル(.docx)にアクセス



26



正多角形の辺および対角線
の長さの平方に関する話題

単位円に内接する正多角形の
辺および対角線の長さの2乗の和について

全ての長さの平方の和
異なる長さの平方の和

単位球に内接する正多面体の
全ての頂点間の長さの平方の和



   3D-GRAPES Files

 ◎ n= 6 八面体
 ◎ n= 6 反三角柱
 ◎ n= 8 直方体
 ◎ n=10 上下屋根付直方体





Edge_Diagonal.pdf

PDF FILE

------------------------------
直接ワードファイル(.docx)にアクセス





27



白から黒へ「変化」するボード


WtoBonBoardProb.pdf


「証明付きペーパー」  WtoBonBoardProof.pdf



「感染するチェッカーボード」  雑誌 KVANT(1986年 ソビエト)から




28



相似でない長方形のトランスフォーム

「このような分割が可能な条件を求めてみよう。」
丁寧な設問
長方形の縦と横の長さに条件はあるだろうか?
斜めの線の条件は何だろうか?
2つの縦の分割線(AB間、CD間)の位置に条件はあるだろうか?

「ペーパー」です。  pdf   &    docx

【解答は、作ってありません。】

他のトランスフォームの例





29


個の四面体をリング状に繋いだ「カライドサイクル」を計算しました。

(D)・2種類の赤い辺は,(垂直でない,一般の)ねじれの位置にある。・青色や赤色の辺の長さは様々である。


『任意カライドサイクル』


3D-GRAPES FILE  AnyKaleidocycle.gp3 は、ここです。

3Dグレープスファィルのパラメータの説明【PDF】 は、ここです。
計算全体の説明は,下の欄においてある,【計算のまとめ】を見てください。







カライドサイクルを作る過程や、スピンオフそして紙工作などの例





30


オイラーの多面体定理を 『A4用紙1枚(の分量)で』  証明する (高校生向き)



PDFファイルは、ここです。




直接ワードファィルへは,ここ。





30.2


『デカルトの定理』

多面体の不足角の総和は、
8直角(720度,4π)である。

「18」の「デカルトの定理」の証明とは別の証明






不足角の全体を見通せる展開図
青色の角は、頂角に集まる各面の内角です。
1周(360°)に足りない角が不足角




Reg. Tetrahedron

Reg. Tetrahedron

Reg. Tetrahedron


Reg. Dodecahedron

Reg. Icosahedron
Dodeca.Making1

Dodeca.Making2







PDF FILE     直接ワードファイルにアクセス





バージョン2(高校生配布資料タイプ・Σ使用版・2ページ構成)

PDF FILE     直接ワードファイルにアクセス





バージョン2021版(高校1年生が読むことが出来るバージョン4ページ構成)

PDF FILE     直接ワードファイルにアクセス





31


Number of Polygon in Mathematical Beadwork



PDFファイルは、ここです。




直接ワードファィルへは,ここ。





32


互除法と連分数 そして 無理数の有理数近似 の話題





PDFファイルは、ここです。











33


「ぬかるんだ道を走る自転車」・・・ Skid Cycloid & Skid Torocoid ・・・



滑りサイクロイド や 滑りトロコイド で囲まれた部分の面積を計算しています。



PDFファイルは、ここです。
    GRAPES FILES 「SkidBycycle.gps」は、ここです。




GRAPES FILES 「SkidCycloid.gps」は、ここです。

GRAPES FILES 「SkidCardioid.gps」は、ここです。





GRAPES FILES 「SkidCyc=Toroco_Check.gps」は、ここです。





34


正n角形の対角線





GRAPES FILES 「SegOfCircle.gps」は、ここです。

頂点を順次数を増やし(1つずつ増加させて)飛ばして引く弦(線分)を引いた図形




GRAPES FILES 「SegOfCircle.gps」は、ここです。

頂点を素数個ずつ飛ばして引く弦(線分)を引いた図形








上の2つのGRAPESファィルを、1つにまとめた、【汎用性】のある

GRAPES FILES
「SegOfCircleAll.gps」は、ここです。


(注意)GRAPESのノートのテーブルを、横に開いた状態で使用すると、このファイルの構成がよく理解出来ると思います。






35



江川邸の算額



江川英毅の奉納した算額の問題



現在、伊豆の韮山にある、
重要文化財・江川邸
の倉庫から
平成24年に発見された
算額にある問題。






英毅(ひでたけ)(1770-1834)の
次男・江川英龍(坦庵)が、
反射炉による鉄製砲完成させた。

これが有名な韮山の反射炉である。







この算額の問題を出題形式にしたもの

ワードファィルはここ






上は、10個の円が内接している。下は、9個の円が内接している。
(算額には、問題はもう1題ある。解説は、PDFにあります。)



江川邸の算額問題(3ページ)PDF ・・・・・・ 編集できるワードファィルはここにあります。




from FUKAGAWA to HORIBE



36



3直角四面体の四平方の定理





四面体の余弦定理・・・NEW2018


参考文献『幾何学大事典 2』 [123]



3D-COS-Th.pdf・・・PDF FILE

------------------------------


直接ワードファイル(.docx)にアクセス




↓ プロトタイプのペーパー ↓

FourSquareTh.pdf・・・PDF FILE    直接ワードファイル(.docx)にアクセス



37



The Circle Tangent to The Coordinate Plane






TheCircleTangentCoordinatePlane.pdf・・・PDF FILE

------------------------------


直接ワードファイル(.docx)にアクセス






38



楕円が与えられたとき、
定木とコンパスを使って、
中心、軸、焦点をかけ。






Center_Ellipse.pdf・・・PDF FILE      ワードファイル・・・docx



---------------------------------------------

手書き解答付きファイル・・・PDF FILE   



39



球面上の幾何学

球面三角形の定理






SphericalTriangles.pdf・・・PDF FILE

------------------------------


直接ワードファイル(.docx)にアクセス






40



「虚数・ことはじめ」カルダノとボンベリを通して






imaginary_number.pdf・・・PDF FILE

------------------------------


直接ワードファイル(.docx)にアクセス






41



「根立寺の算額の問題」(新潟県長岡市上岩井)


右の問題について


正方形の内部に,図のように三角形と半径rの小円3個および,半径Rの大円が接しているとする.

このとき,比 r:R を求めよ.



問題形式プリント・・・PDF FILE   ワードファイル



解答プリント・・・PDF FILE   直接ワードファイル(.docx)にアクセス




42

CTスキャンの説明
CTの基礎は、数学にある・・・詳しくは、自分で調べて・・・。

例えば、次のWEBは大変素晴らしい作りになっています。
是非、見てください。
ここです

どなたのページが不明です。
お名前は書いてないようです・・・が ichikawa と読み取れます




  追加ページ  MRI画像のページ へ  

 CTとMRIは、技術的には、異なります。
 得られたデータから、3-D画像を作成する所は似ていますね。

MRI画像のAni-gif へ  


「新館37階のベージ」に同じ

頭部CT(Computed Tomography)画像





43



正弦定理・余弦定理の簡単な証明






正弦定理・第一余弦定理・第二余弦定理の簡単な証明

A4 1ページ PDF FILE




A4 1ページ Word FILE








44


Prince Rupert's Cube






立方体は、同じ大きさの立方体を突き抜けるか




【別ページが開く】








45


Circule Sequence in Triangle






三角形の内側に、円列を内接させる。




【PDF】

【docx】








46


江川邸・算額問題より

巴形の円配列について  【別アニメ】


単位円内の正n角形



江川邸の問題は「正三角形」の問題でした。

一般化して見たら・・・というお話です。




【PDF】  ・   【docx】  ・   作成状況アニメ



47


Amidakuji-Like 阿弥陀籤風(あみだクジ風)確率







分岐点での確率を幾つか定義する。




【PDF】     【docx】


問題と解答【PDF】     問題と解答【docx】





48


SquareAnd4Circles 正方形と4つの円


図は、パートA



問題1 と 問題2 そして 追加問題2題

問題1【PDF】     問題2【PDF】     追加 2題【PDF】



問題 + 解答 プリント

全体プリント【PDF】

全体プリント【docx】




49


直線上を動く点で作る回転する円

GRAPES FILE


Line-Circle-Ani.gif





50


6つの線分からなる三角形




Triangle-6segment.pdf



ワードファイル




51





高校生にわかる形式で、手順を追ってゆっくり証明します。


NormalDisValueVer202011.pdf



NormalDisValueVer202011.docx1p-4p

NormalDisValueByDoubleIntegral.docxReference(1p)



52




2009/1

凹んだ5角形による平面充填---Animation


PentaAni.gif

PentaAni2.gif







GRAPE FILE

ConcavePentagonNEO.gps



53





凹んだ6角形による平面充填---Animation


HexAni.gif






GRAPE FILE (Not-Automatic)

ConcaveHexagon.gps



54






まず「平行移動しただけの関係である。」このことを示してみよう。

to GeoGibra Data





55



ラザレ・カルノーによる「方べきの定理の統一」



PDF-File

docx-file




56



広幡神社(三重県)の算額の問題より


外の円の半径を1とし、
その円の内部で互いに接している
大円(半径=a),中円(半径=b),小円(半径=c)の
3つの円の半径a,b,cを求めよ。

【図は上下および左右対称である】



問題用紙 ・・・  PDF-File docx-file

解答例 ・・・  PDF-File docx-file





56




広幡神社(三重県)の算額の問題

から発想した新しい問題群


外の円の半径を1とし、
その円の内部で互いに接している
大円(半径=a),中円(半径=b),小円(半径=c)の
3つの円の半径a,b,cを求めよ。

【図は上下および左右対称である】



問題用紙 ・・・  PDF-File docx-file

解答例 ・・・  PDF-File docx-file



【  Gif-Ani 小 】    【  Gif-Ani 大 】





57



ひとつの解を求める筆算




筆算


解説 ・・・  PDF-File  ・・・  DOCX-File





58

チェビシェフの不等式と大数の法則の証明
(高校生に向けて)





と「チェビシェフの不等式」の短い証明





短い証明は、ここ   PDF-File  ・・・  DOCX-File



チェビシェフの不等式を
証明するためのヒントとなるグラフ


解説 ・・・  PDF-File  ・・・  DOCX-File






58-2

チェビシェフの不等式
を2通りの方法で証明する

2WayChebychev-inequality
【前提】・・・平均値が有限な値で存在・・・




・・・ということで・・・


平均値が存在しない例
PDF-File ・・・ DOCX-File



解説 ・・・  PDF-File  ・・・  DOCX-File




マルコフの不等式からチェビシェフの不等式を証明する部分のみ

PDF-File  ・・・  DOCX-File





59



正三角形格子状に並んだ19個の点から

線分、三角形、正六角形を作る問題


(自作の問題)






【問題】・・・ PDF-File  ・・・  DOCX-File
【解答】・・・ PDF-File  ・・・  DOCX-File



60



自然数を1から順に、

方形に並べる関数

を作る問題。

問4まであります。




FillingTableSol



【問題】・・・ PDF-File  ・・・  DOCX-File
【解答】・・・開示しません。(今のところ・・・考えてね。)    Excel-File




61


カライド・サイクル
の プレゼン資料
Kaleidocycles Simulator
by
Johannes Schönke
FORMALDESIGN



プレゼンのページへ





62

階差数列から

元の数列を求める公式

Ver2






解説 ・・・  PDF-File  ・・・  DOCX-File





63

正五胞体の紹介
高校生に向けて


参考模型



点・線分・正三角形・正四面体・正五胞体・・・と,

n次元正単体の座標を順次決定しながら、

最後に、正五胞体を紹介出来る様に、詳細に計算

さらに、次元をひとつ下げて・・・イメージ化


解説 ・・・  PDF-File  ・・・  DOCX-File

解説(改訂版)
PDF-File  ・・・  DOCX-File





















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999




30球で編んだ立体模型の作り方・・・PDF





90球で編んだ立体模型の作り方・・・PDF




















・・・問題蔵の蔵・・・



360degree.pdf


30BALL_5page.pdf


30Ball_RyukokuUmeda.pdf















-1


あるパズルの写真

20BallPuzzle






hint




-2

予備箱

spare room




DimGeo1

RegularPentachoron



-3

予備箱

spare room




99



-4

予備箱

spare room




999